Question

3．已知直线AB：x+y-6=0与抛物线y=x²及x轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自图形Ω的概率为$\frac{16}{27}$．

Answer 1

分析 欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．

解答 解：由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为：
S=∫₀²x²dx+∫₂⁶（6-x）dx
=$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{2}+（6x-\frac{1}{2}{x}^{2}）{|}_{2}^{6}$=$\frac{32}{3}$，
又Rt△AOB的面积为：$\frac{1}{2}×6×6$=18
所以P=$\frac{\frac{32}{3}}{18}$=$\frac{16}{27}$．
故答案为：$\frac{16}{27}$．

点评 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．