Question

13．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤0}\\{x-y≤0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y-2}{x+3}$的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{12}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{2}-4}{7}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由z=$\frac{y-2}{x+3}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（-3，2）连线的斜率，结合直线与圆的位置关系求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤0}\\{x-y≤0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=$\frac{y-2}{x+3}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-3，2）连线的斜率．
设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x+3），即kx-y+3k+2=0．
由$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=0或k=-$\frac{12}{5}$．
∴z=$\frac{y-2}{x+3}$的最小值为-$\frac{12}{5}$．
故选；C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．