Question

18．若（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ的展开式中的各项系数和为243，则a₁+2a₂+…+na_n=（　　）

• A． 405
• B． 810
• C． 243
• D． 64

Answer 1

分析 （2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，两边求导可得：2n（2x+1）^n-1=a₁+2a₂x+…+$n{a}_{n}{x}^{n-1}$，取x=1，则2n×3^n-1=a₁+2a₂+…+na_n，各项系数和为243，令x=1，可得3ⁿ=243，解得n．即可得出．

解答 解：（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，两边求导可得：2n（2x+1）^n-1=a₁+2a₂x+…+$n{a}_{n}{x}^{n-1}$，
取x=1，则2n×3^n-1=a₁+2a₂+…+na_n，
各项系数和为243，令x=1，可得3ⁿ=243，解得n=5．
∴a₁+2a₂+…+na_n=2×5×3⁴=810．
故选：B．

点评 本题考查了导数的应用、二项式定理的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．