Question

7．定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1-|x-1|），且对任意实数x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N^*，n≥2），都有f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）．若g（x）=f（x）-log_ax有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，10]
• B． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$]
• C． （2，10）
• D． [2，10）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分别作出函数f（x）和y=log_ax的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1-|x-1|），
当n=2时，x∈[2，6]，此时$\frac{x}{2}$-1∈[0，2]，则f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$×4（1-|$\frac{x}{2}$-1-1|）=2（1-|$\frac{x}{2}$-2|），
当n=3时，x∈[6，14]，此时$\frac{x}{2}$-1∈[2，6]，则f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$×2（1-|$\frac{x}{4}$-$\frac{5}{2}$|）=1-|$\frac{x}{4}$-$\frac{5}{2}$|，
由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分别作出函数f（x）和y=log_ax的图象，

若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．
若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B时，两个函数有4个交点，
则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，
∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），
即满足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜f（4）}\\{lo{g}_{a}10＞f（10）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜2}\\{lo{g}_{a}10＞1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞4}\\{a＜10}\end{array}\right.$，
即2＜a＜10，
故选：C．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用函数零点和方程之间的关系，将条件转化为两个函数交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．