Question

8．若数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2且a_nb_n+b_n=nb_n+1．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n＜4．

Answer 1

分析 （1）b₁=1，b₂=2且a_nb_n+b_n=nb_n+1．n=1时，a₁+1=2，解得a₁．利用等差数列的通项公式可得a_n．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵b₁=1，b₂=2且a_nb_n+b_n=nb_n+1．∴n=1时，a₁+1=2，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴2nb_n=nb_n+1，即2b_n=b_n+1，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和为T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$＜4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．