Question

3．已知椭圆x²+2y²=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-$\frac{1}{4}$，代入求得AB中点M（x₀，y₀），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x²+2y²＜1，即可求得b的取值范围．

解答 解：∵椭圆x²+2y²=1，焦点在x轴上，
设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+b对称，
AB中点为M（x₀，y₀），直线AB的斜率为-$\frac{1}{4}$
则x₁²+2y₁²=1，①
x₂²+2y₂²=1，②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
即 2x₀•（x₁-x₂）+2•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$．
∴y₀=$\frac{1}{2}$x₀，代入直线方程y=4x+b得x₀=-$\frac{2}{7}$b，y₀=-$\frac{1}{7}$b；
∵（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴$\frac{4{b}^{2}}{49}$+2×$\frac{{b}^{2}}{49}$＜1，即6b²＜49，
解得-$\frac{7\sqrt{6}}{6}$＜b＜$\frac{7\sqrt{6}}{6}$．
实数b的取值范围（-$\frac{7\sqrt{6}}{6}$，$\frac{7\sqrt{6}}{6}$）．

点评 本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．