Question

4．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人数	4	5	8	5	3
年龄	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人数	6	7	3	5	4

经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，则P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$．
（II）X的可能取值为0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，
则P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$．
（II）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．P（X=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{15}$

∴E（X）=0+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{13}{30}$+3×$\frac{1}{15}$=$\frac{22}{15}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．