Question

9．已知球O的半径为13，其球面上有三点A、B、C，若AB=12$\sqrt{3}$，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是60$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．

解答 解：∵AB=12$\sqrt{3}$，AC=BC=12，
∴cos∠ACB=$\frac{144+144-144×3}{2×12×12}$=-$\frac{1}{2}$，∴∠ACB=120°，
∴△ABC的外接圆的半径为$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=12，
∴O到平面ABC的距离为5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×12×12×\frac{\sqrt{3}}{2}$=36$\sqrt{3}$，
∴四面体OABC的体积是$\frac{1}{3}×36\sqrt{3}×5$=60$\sqrt{3}$．
故答案为：60$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四面体OABC的体积，考查学生的计算能力，正确求出△ABC的外接圆的半径是关键．