Question

12．已知函数f（x）=|x+1|+|2x-4|．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜9；
（Ⅱ）若直线y=m与函数y=f（x）的图象围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求围成的三角形面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x的不等式f（x）＜9；
（Ⅱ）作出函数的图象，结合图象求解．

解答 解：（Ⅰ）x≤-1，不等式可化为-x-1-2x+4＜9，
x＞-2，∴-2＜x≤-1；
-1＜x＜2，不等式可化为x+1-2x+4＜9，∴x＞-4，∴-1＜x＜2；
x≥2，不等式可化为x+1+2x-4＜9，∴x＜4，∴2≤x＜4；
综上所述，不等式的解集为{x|-2＜x＜4}；
（Ⅱ）f（x）=|x+1|+2|x-2|，
由题意作图如下，
，
结合图象可知，A（3，6），B（-1，6），C（2，3）；
故3＜m≤6，
且m=6时面积最大为$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．