【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)首先求函数的导函数,然后分a>0, a<0两种情况进行分类求函数的单调区间;
(2),即,
令,研究函数的单调性与最值即可.
解:(1)依题意,
当时,令,得或,令,得,
可知的增区间为,,减区间为;
当时,令,得,令,得或,
可知的增区间为,减区间为,.
综上,当时,的增区间为,,减区间为;
当时,的增区间为,减区间为,.
(2),即,
令, 则,
令,则.
①若,当时,,从而在上单调递增,
因为,故当时,,即,
从而在上单调递增,因为,
故当时,恒成立,符合题意;
②若,当时,恒成立,从而在上单调递减,
则,即时,,
从而在上单调递减,此时,不符合题意;
③若,由,得,当时,,故在上单调递减,则,即,
故在上单调递减,故当时,,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为
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【题目】如图1所示,在中, , , , 为的平分线,点在线段上, .如图2所示,将沿折起,使得平面平面,连结,设点是的中点.
图1 图2
(1)求证: 平面;
(2)在图2中,若平面,其中为直线与平面的交点,求三棱锥的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).
(1)将, 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.若上的点对应的参数为,点在上,点为的中点,求点到直线距离的最小值.
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【题目】已知圆外的有一点,过点作直线.
(1)当直线过圆心时,求直线的方程;
(2)当直线与圆相切时,求直线的方程;
(3)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长.
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【题目】设有一组圆.下列四个命题正确的是( )
A. 存在,使圆与轴相切
B. 存在一条直线与所有的圆均相交
C. 存在一条直线与所有的圆均不相交
D. 所有的圆均不经过原点
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线交曲线于,两点,交曲线于,两点,求的长.
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【题目】袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
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