【题目】设函数(且)是定义域为的奇函数.
(1)若,试求不等式的解集;
(2)若,且,求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)-2
【解析】
首先利用奇函数求得的值.(1)根据求得,由此求得函数是单调递增函数,再根据函数的奇偶性和单调性求得不等式的解集.(2)利用求得的值.由此求得函数的解析式.在利用换元法以及配方法求得函数在给定区间上的最小值.
∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1.
(1)∵f(1)>0,∴a->0,又a>0且a≠1,∴a>1.∵k=1,∴f(x)=ax-a-x,当a>1时,y=ax和y=-a-x在R上均为增函数,∴f(x)在R上为增函数,原不等式可化为f(x2+2x)>f(4-x),∴x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,∴x>1或x<-4,∴不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.
(2)∵f(1)=,∴a-=,即2a2-3a-2=0.∴a=2或a=- (舍去),∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2,令t=h(x)=2x-2-x(x≥1),则g(t)=t2-4t+2.∵t=h(x)在[1,+∞)上为增函数(由(1)可知),∴h(x)≥h(1)=,即t≥,g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,t∈.∴当t=2时,g(t)取得最小值-2,即g(x)取得最小值-2,此时x=log2(1+),故当x=log2(1+)时,g(x)有最小值-2.
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【题目】如图,三棱柱的侧面是平行四边形,,平面平面,且分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)当侧面是正方形,且时,
(ⅰ)求二面角的大小;
(ⅱ)在线段上是否存在点,使得?若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点,与原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】函数(其中)的部分图象如图所示,把函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移1个单位,得到函数的图像.
(1)当时,求的值域
(2)令,若对任意都有恒成立,求的最大值
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【题目】如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB、BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向千米处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.
(1)媒体转播车从A出发,沿AC行至点P处,此时,求PB的距离;
(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C,两者同时出发,步行的速度为6千米/小时,为配合转播,转播车的速度为12千米/小时,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9千米,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.
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【题目】某公司为了激励业务员的积极性,对业绩在60万到200万的业务员进行奖励奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随着业绩值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%.
(1)若某业务员的业绩为100万核定可得4万元奖金,若该公司用函数(k为常数)作为奖励函数模型,则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励?(已知,)
(2)若采用函数作为奖励函数模型试确定最小的正整数a的值.
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