Question

【题目】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）当侧面是正方形，且时，

（ⅰ）求二面角的大小；

（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有

【解析】

（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；

（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；

（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.

利用垂直关系，建立的方程，解之即可.

证明：（1）取中点，连，连.

在△中，因为分别是中点，

所以，且.

在平行四边形中，因为是的中点，

所以，且.

所以，且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为侧面是正方形，所以.

又因为平面平面，且平面平面

所以平面.所以.

又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，

.

（ⅰ）设平面的一个法向量为.

由得即令，所以.

又因为平面，所以是平面的一个法向量.

所以.

由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.

（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.

设，则.

因为

，

又，

所以.

所以.

故点在点处时，有