Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）-x的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=0，即可解得a，注意检验；
（Ⅱ）由条件可得，f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到a的范围；
（Ⅲ）令g（x）=0，则a=-x³+x²+x，令h（x）=-x³+x²+x，x＞0，求出导数，求得单调区间和最值，结合图象对a讨论，即可判断零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
f（x）在x=1处取得极小值，
即有f′（1）=0，解得a=2，
经检验，a=2时，f（x）在x=1处取得极小值．
则有a=2；
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，
f（x）在区间（1，2）上单调递增，
即为f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，
即a≤x²+x在区间（1，2）上恒成立，
由x²+x∈（2，6），
则a≤2；
（Ⅲ）g（x）=f′（x）-x=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-x，x＞0，
令g（x）=0，则a=-x³+x²+x，
令h（x）=-x³+x²+x，x＞0，
则h′（x）=-3x2+2x+1=-（3x+1）（x-1），
当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增；
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）递减．
即有h（x）的最大值为h（1）=1，
则当a＞1时，函数g（x）无零点；
当a=1或a≤0时，函数g（x）有一个零点；
当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和函数的零点的个数，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．