Question

4．已知数列{a_n}中a₁=1，在a₁、a₂之间插入1个数，在a₂、a₃之间插入2个数，在a₃、a₄之间插入3个数，…，在a_n、a_n+1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{a_n}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{b_n}．
（1）若a₄=19，求{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足$\sqrt{2{S}_{n}+λ}$=b_n+μ（λ、μ为常数），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）设正项等差数列{b_n}的公差为d．由题意可得：b₁=a₁=1，b₁₀=a₄=19，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）$\sqrt{2{S}_{n}+λ}$=b_n+μ（λ、μ为常数），可得$2{S}_{n}+λ=（{b}_{n}+μ）^{2}$．设正项等差数列{b_n}的公差为d＞0．分别取n=1，2，3可得$\left\{\begin{array}{l}{2+λ=（1+μ）^{2}}\\{2（2+d）+λ=（1+d+μ）^{2}}\\{2（3+3d）+λ=（1+2d+μ）^{2}}\end{array}\right.$，解得λ，μ，d=1．可得$2{S}_{n}={b}_{n}^{2}+{b}_{n}$，利用递推式可得：b_n-b_n-1=1，因此b_n=n．利用a_n=${b}_{\frac{n（n-1）}{2}+n}$即可得出．

解答 解：（1）设正项等差数列{b_n}的公差为d．
由题意可得：b₁=a₁=1，b₁₀=a₄=19，19=1+9d，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵$\sqrt{2{S}_{n}+λ}$=b_n+μ（λ、μ为常数），∴$2{S}_{n}+λ=（{b}_{n}+μ）^{2}$．
设正项等差数列{b_n}的公差为d＞0．
分别取n=1，2，3可得$\left\{\begin{array}{l}{2+λ=（1+μ）^{2}}\\{2（2+d）+λ=（1+d+μ）^{2}}\\{2（3+3d）+λ=（1+2d+μ）^{2}}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{1}{2}$，d=1．
∴$2{S}_{n}+\frac{1}{4}=（{b}_{n}+\frac{1}{2}）^{2}$，
化为$2{S}_{n}={b}_{n}^{2}+{b}_{n}$，
∴当n≥2时，$2{S}_{n-1}={b}_{n-1}^{2}+{b}_{n-1}$，
∴2b_n=${b}_{n}^{2}+{b}_{n}$-${b}_{n-1}^{2}$-b_n-1，
化为（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-1）=0，
∵?n∈N^*，b_n＞0，
∴b_n-b_n-1=1，
∴等差数列{b_n}的公差为1，首项为1，
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=${b}_{\frac{n（n-1）}{2}+n}$=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．