Question

15．在平面直角坐标系xOy中，设M是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的区域，A是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向A中随机投一点，则所投点落在M中的概率是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的落在圆内的面积区域和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．

解答 解：根据题意可得，A是到原点的距离不大于1的点构成的区域，表示以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S₁=π，
点M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
其构成的区域D如图所示，落在圆内的面积为S₂=$\frac{π}{3}$，
所以所求的概率为P=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查几何概型．几何概型的特点是：实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性．在具体问题的研究中，要善于将基本事件“几何化”，构造出随机事件对应的几何图形，抓住其直观性，把握好几何区域的“测度”，利用“测度”的比来计算几何概型的概率．