Question

9．若C₃₂²ⁿ⁺⁶=C₃₂ⁿ⁺²（n∈N₊），且f（x）=（2x-3）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．
（1）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．
（2）求f（20）-20除以6的余数．

Answer 1

分析 （1）利用组合数的性质求得n=8，再令x=1、0可得a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．
（2）f（20）-20=（36+1）⁸-20，利用展开式求f（20）-20除以6的余数．

解答 解：（1）由C₃₂²ⁿ⁺⁶=C₃₂ⁿ⁺²（n∈N^*）可得2n+6+n+2=32，或2n+6=n+2，解得n=8或n=-4（舍去）．
故f（x）=（2x-3）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1可得a₀+a₁+a₂-…+a_n=1，
令x=0可得a₀=3⁸，
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=1-3⁸=-6560．
（2）f（20）-20=（36+1）⁸-20
=C₈⁰36⁸+C₈¹36⁷+…+C₈⁷36¹+C₈⁸36⁰-20=36（C₈⁰36⁷+C₈¹36⁶+…+C₈⁷36⁰）-36+17，
所以f（20）-20除以6的余数为5．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．