Question

已知函数f（x）=（x²-2x-2）e^x，方程f（x）=m有三个解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：遇到方程根的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．

解答： 解：∵f（x）=m，
∴f（x）-m=0，
即：（x²-2x-2）e^x-m=0，
令g（x）=（x²-2x-2）e^x-m，
∴g′（x）=e^x（x²-4）=0，
∴x=-2或x=2，
∴当x∈（-∞，-2）时，g（x）单调递增，
当x∈（-2，2）时，g（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，g（x）单调递增；
∴x=-2时，g（x）_max=g（-2）=6e^-2-m，
x=2时，g（x）_min=g（2）=-2e²-m，
由题意得：

6e-2-m＞0 -2e2-m＜0

，
解得：-2e²＜m＜6e^-2，
故答案为：（-2e²，6e^-2）．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．