Question

已知关于x的方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有实数解，记m的所有可能取值构成集合P；又焦点在x轴上的椭圆

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的离心率的取值范围为（0，

3

2

]，记n的所有可能取值构成集合Q．设M=P∩Q，若λ为区间[-1，4]上的随机数，则λ∈M的概率为（　　）

• A、

  1

  20

• B、

  9

  20

• C、

  1

  5

• D、

  2

  5

Answer 1

考点：几何概型,模拟方法估计概率

专题：综合题,概率与统计

分析：根据方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有实数解，求出m的取值范围，根据焦点在x轴上的椭圆

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的离心率的取值范围为（0，

3

2

]，求出n的范围，可得M，再根据几何概型的概率公式进行求解即可．

解答： 解：由cosx+sin²x+m-1=0得m=cosx²-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴-

1

4

≤m≤2，
即P=[-

1

4

，2]，
∵焦点在x轴上的椭圆

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的离心率的取值范围为（0，

3

2

]，
∴

n+2＞1 0＜ n+1 n+2 ≤ 3 4

，
∴-1＜n≤2，
∴Q=（-1，2]，
∴M=P∩Q=[-

1

4

，2]，
若λ为区间[-1，4]上的随机数，
则λ∈M的概率P=

2-(- 1 4 )

4-(-1)

=

9

20

，
故选：B．

点评：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求m、n的等价条件是解决本题的关键．