Question

已知知函数f（x）=

x+1

|x|+1

，x∈R，则不等式f（x²-2x）＜f（3x-4）的解集是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为

3x-4≥0 x2-2x＜0

或

3x-4＜0 x2-2x＜0 x2-2x＜3x-4

，
分别解出它们，再求并集即可．

解答： 解：当x≥0时，f（x）=

x+1

x+1

=1，
当x＜0时，f（x）=

x+1

1-x

=-1-

2

x-1

，
作出f（x）的图象，可得f（x）在（-∞，0）上递增，
不等式f（x²-2x）＜f（3x-4）即为

3x-4≥0 x2-2x＜0

或

3x-4＜0 x2-2x＜0 x2-2x＜3x-4

，
即有

x≥ 4 3 0＜x＜2

或

x＜ 4 3 0＜x＜2 1＜x＜4

，
解得

4

3

≤x＜2或1＜x＜

4

3

，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．