Question

证明下列恒等式：
（1）cos²α+2sin²α+sin²αtan²α=

1

cos2α

；
（2）cos²α（2+tanα）（1+2tanα）=2+5sinαcosα；
（3）

1+tan2A

1+cot2A

=（

1-tanA

1-cotA

）²；
（4）

tanA-tanB

cotB-cotA

=

tanB

cotA

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的平方关系从左向右逐步化简得答案；
（2）化切为弦，然后展开多项式乘多项式得答案；
（3）左右两边分别化切为弦，整理后可得左右两边相等；
（4）由（tanA-tanB）cotA=tanAcotA-tanBcotA=1-tanBcotA，
（cotB-cotA）tanB=cotBsinB-cotAtanB=1-cotAtanB，
可得（tanA-tanB）cotA=（cotB-cotA）tanB，即

tanA-tanB

cotB-cotA

=

tanB

cotA

．

解答： 证明：（1）cos²α+2sin²α+sin²αtan²α
=cos²α+sin²α+sin²α+sin²αtan²α
=1+sin²α（1+tan²α）=1+sin²α•sec²α=1+tan²α=sec²α=

1

cos2α

；
（2）cos²α（2+tanα）（1+2tanα）
=cos2α(2+

sinα

cosα

)(1+

2sinα

cosα

)=（2cosα+sinα）（cosα+2sinα）
=2cos²α+sinαcosα+4sinαcosα+2sin²α=2+5sinαcosα；
（3）∵左边=

1+tan2A

1+cot2A

=

1+ sin2A cos2A

1+ cos2A sin2A

=

1 cos2A

1 sin2A

=

sin2A

cos2A

=tan²A．
右边=(

1- sinA cosA

1- cosA sinA

)2=(-

sinA

cosA

)2=tan2A
∴

1+tan2A

1+cot2A

=（

1-tanA

1-cotA

）²；
（4）∵（tanA-tanB）cotA=tanAcotA-tanBcotA=1-tanBcotA，
（cotB-cotA）tanB=cotBsinB-cotAtanB=1-cotAtanB，
∴（tanA-tanB）cotA=（cotB-cotA）tanB．
∴

tanA-tanB

cotB-cotA

=

tanB

cotA

．

点评：本题考查了三角恒等式的证明，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．