Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2

3

cos²x+

3

．
（1）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到偶函数g（x）的图象，求m的最小值；
（2）在区间[0，π]上，求满足f（x）≤2的x的取值集合M．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得m的最小值；
（2）由f（x）≤2即可确定x的取值集合M．

解答： 解：（1）∵f（x）=1+sin2x-

3

（1-cos2x）+

3

=1+2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

3

），
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位
得到f（x+m）=2sin[2（x+m）+

π

3

]=2sin（2x+2m+

π

3

），
∵g（x）=f（x+m）=2sin（2x+2m+

π

3

）为偶函数，
∴2m+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴m=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
又m＞0，
∴m_min=

π

12

．
（2）∵x∈[0，π]
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，2π+

π

3

]
∵f（x）=2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴满足f（x）≤2的x的取值集合M={x|0＜x＜π}．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于基本知识的考查．