Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.

（1）证明：AB⊥PD.

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；

（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.

（1）证明：连结BD，

∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，

底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.

∴BD＝AD，

∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，

∴AD⊥PD，BD⊥PD，

∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，

∵AB平面ABCD，∴AB⊥PD.

（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，

以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），

（），（0，，），（，，），

设平面ABP的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，1，1），

设平面PBC的法向量，

则，取，得（﹣1，1，1），

设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，

则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ.