Question

在直角△ABC中，AB=2，AC=2

3

，斜边BC上有异于端点两点B、C的两点E、F，且EF=1，则

AE

•

AF

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：以A为坐标原点，AB、AC方向为x，y轴正方向建立坐标系，分别求出向量

AE

、

AF

的坐标，代入向量数量积的运算公式，由二次函数的值域求法即可得到所求范围．

解答： 解：以A为坐标原点，AB、AC方向为x，y轴正方向建立坐标系．
可得A（0，0），B（2，0），C（0，2

3

）
又EF=1，设E（m，

3

（2-m）），F（m+

1

2

，

3

（

3

2

-m）），（0≤m≤

3

2

），
则

AE

=（m，

3

（2-m））），

AF

=（m+

1

2

，

3

（

3

2

-m）），
即有

AE

•

AF

=m（m+

1

2

）+3（2-m）（

3

2

-m）=4m²-10m+9=4（m-

5

4

）²+

11

4

，
当m=

5

4

时，取得最小值

11

4

，当m=0时，取得最大值9．
即有所求取值范围是[

11

4

，9]．
故答案为：[

11

4

，9]．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，将向量数量积的运算坐标化是解决问题的关键，属中档题．