Question

【题目】已知直角梯形的下底与等腰直角三角形的斜边重合，且（如图（1）所示），将此图形沿折叠成直二面角，连接，，得到四棱锥（如图（2）所示）.

（1）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在点，（2）

【解析】

（1）假设存在满足题意的点，根据线面平行的性质定理可知，由平行线分线段成比例可求得，则假设成立；

（2）取中点，根据垂直关系，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

（1）假设在线段上存在点，使得平面，

连接，交于点，连接，

若平面，平面平面，平面，，

.

，，，

在线段上存在点，使得平面，此时.

（2）取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，

又，.

，为中点，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

为等腰直角三角形，，

设，则，，，，，，，

，，.

设平面的一个法向量，

则，令，则，，.

平面，是平面的一个法向量，

，

即平面与平面的夹角的余弦值为.