Question

20．已知函数f（x）=Asin（x+θ）-cos$\frac{x}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-$\frac{x}{2}$）（其中A为常数，θ∈（-π，0），若实数x₁，x₂，x₃满足；①x₁＜x₂＜x₃，②x₃-x₁＜2π，③f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则θ的值为-$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 推导出f′（x）=Acos（x+θ）+$\frac{1}{2}sin（x-\frac{π}{6}）$，由题设条件得：x∈[x₁，x₃]时，f′（x）有两个零点，由此能求出θ的值．

解答 解：∵f（x）=Asin（x+θ）-cos$\frac{x}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-$\frac{x}{2}$）（其中A为常数，θ∈（-π，0），
∴${f}^{'}（x）=Acos（x+θ）+\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}cos（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）$-$\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}sin（\frac{π}{6}-\frac{x}{2}）$
=Acos（x+θ）+$\frac{1}{2}sin（x-\frac{π}{6}）$，
∵实数x₁，x₂，x₃满足；①x₁＜x₂＜x₃，②x₃-x₁＜2π，③f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
∴由题设条件①②③，得：x∈[x₁，x₃]时，f′（x）有两个零点，
当cos（x+θ）=ksin（x-$\frac{π}{6}$）时，f′（x）在[x₁，x₃]这个小于2π的区间才有两个零点，
即x+θ=x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$+kπ，
∵θ∈（-π，0），∴$θ=-\frac{π}{6}-\frac{π}{2}$=-$\frac{2π}{3}$．
故答案为：-$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和三角函数加法定理的合理运用．