Question

5．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0）与y轴的正半轴交于点M，直线l₁：y=2x+1被圆O所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，圆O上相异两动点A，B所在的直线l₂的方程为y=kx+m，且满足直线MA与直线MB的斜率之积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求实数r的值；
（Ⅱ）试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆心O（0，0）到直线l₁：y=2x+1的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$，计算即可得到r=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用直线的斜率公式计算即可得到m的值，进而判断直线AB是否经过定点．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l₁：y=2x+1被圆O所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴圆心O（0，0）到直线l₁：y=2x+1的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$，
∴r=1；              
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=1，
设直线AB：y=kx+m，代入x²+y²=1
∴（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∵k_MA•k_MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-\frac{2m}{1+{k}^{2}}+1}{\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得m=2+$\sqrt{3}$，
∴直线AB过定点（0，2+$\sqrt{3}$）．
综上：直线AB过定点（0，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相交，考查圆的方程的求法和直线方程联立圆的方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，属于中档题．