Question

1．已知正方形ABCD的边长为2，直线MN过正方形的中心O交线段AD，BC于M，N两点，若点P满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值为-1．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），|$\overrightarrow{OP}$|²≥1，数形结合求得它的最小值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
∴可得$\overrightarrow{OP}$的终点在线段AB上，
∴|$\overrightarrow{OP}$|≥1，
∴|$\overrightarrow{OP}$|²≥1，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$+1=-$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+1=-1，当且仅当λ=0 或λ=1时，取等号，
故答案为：-1．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．