Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令数列{c_n}满足：c_n＝，求数列{c_n}的前101项之和T₁₀₁；
（3）设数列{c_n}对任意n∈N*，均有＋＋…＋＝a_n+1成立，求c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂的值．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1．   b_n＝3^n-1           
（2）5151＋      
（3）c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹¹＝3²⁰¹²．   

(1) 第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项,可建立关于d,b₁,q的三个方程解方程组即可求解.
(2) 解本题关键是T₁₀₁＝(a₁＋a₃＋…＋a₁₀₁)＋(b₂＋b₄＋…＋b₁₀₀).然后分组求和即可.
(3)先根据＋＋…＋＝a_n+1，求出{}的通项公式，然后根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和即可.
（1）由题意得：(a₁＋d)(a₁＋13d)＝(a₁＋4d)²         (d＞0)，
解得d＝2，∴a_n＝2n－1．       …………………………………………2分
∴b₂＝a₂＝3, b₃＝a₅＝9,∴b_n＝3^n-1 …………………………………………4分
（2）∵a₁₀₁＝201，b₂＝3
∴T₁₀₁＝(a₁＋a₃＋…＋a₁₀₁)＋(b₂＋b₄＋…＋b₁₀₀)＝＋
＝5151＋                     …………………10分
（3）当n≥2时，由＝＋＋…＋－(＋＋…＋)＝a_n+1－a_n＝2
得c_n＝2b_n＝2·3^n-1，
当n＝1时，c₁＝3．故c_n＝ ……………………………13分
故c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹¹＝3²⁰¹²．