Question

已知函数f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在点P处的切线与函数g（x）=

1

2

x²+lnx在点Q处的切线平行，则直线PQ的斜率为（　　）

• A、

  1

  π

• B、

  1

  2-π

• C、2
• D、π-2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出P和Q点的坐标，分别求出两个函数的导函数，利用余弦函数的值域及不等式求最值得到两个导函数的取值范围，再由f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在点P处的切线与函数g（x）=

1

2

x²+lnx在点Q处的切线平行得到P，Q点的横坐标，代入原函数求得P，Q的纵坐标，由两点求斜率得答案．

解答： 解：设P（a，b），Q（m，n），
由f（x）=-2cosx，得f′（x）=2sinx，
∵x∈[0，π]，
∴0≤f′（x）≤2．
由g（x）=

1

2

x²+lnx，得g′(x)=x+

1

x

．
∵x＞0，
∴g′（x）≥2．
∵f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在点P处的切线与函数g（x）=

1

2

x²+lnx在点Q处的切线平行，
∴2sina=m+

1

m

=2．
∵a∈[0，π]，m＞0，
∴a=

π

2

，m=1，
∴b=-2cos

π

2

=0，n=

1

2

．
∴直线PQ的斜率为：

1 2 -0

1- π 2

=

1

2-π

．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．