Question

已知函数．
（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）或
（Ⅱ）①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．
（Ⅲ）见解析

(I)当时，g(x)=f(x)-k有一个零点，实质是y=f(x)与直线y=k有一个公共点，所以利用导数研究y=f(x)的单调性，极值，最值，作出图像可求出k的取值范围.
(II)当a=2时，令,然后利用导数研究其单调区间及最值，然后再分类讨论f(x)与1的大小关系.
(III)解本小题的关键是根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，从而得,问题得解.
解：（Ⅰ）当时，，定义域是，
，令，得或．  …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减．  ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，；当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（Ⅱ）当时，，定义域为．
令，
，    在上是增函数． ………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．……………9分
（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，   
． ……………12分
，．  ……………14分
（法二）当时，．
，，即时命题成立．…………………10分
设当时，命题成立，即．
时，．
根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立．……………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

．……………………12分
，
又，，
．
．………………14分