Question

【题目】已知函数f（x）=ex+ （a∈R）是定义域为R的奇函数，其中e是自然对数的底数．
（1）求实数a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=e2x+ ﹣2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 在定义域R上是奇函数，

所以

即 恒成立，

所以a=﹣1，此时

（2）解：因为f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0

所以f（x2+x）＜﹣f（2﹣tx）

又因为 在定义域R上是奇函数，

所以f（x2+x）＜f（tx﹣2）

又因为 恒成立

所以 在定义域R上是单调增函数

所以存在x∈（0，+∞），使不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0成立

等价于存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，

所以存在x∈（0，+∞），使（t﹣1）x＞x2+2，即

又因为 ，当且仅当 时取等号

所以 ，即 ，

注：也可令g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2

①对称轴 时，即t≤1g（x）=x2﹣（t﹣1）x+2在x∈（0，+∞）是单调增函数的．

由g（0）=2＞0不符合题意

②对称轴 时，即t＞1

此时只需△=（t﹣1）2﹣8≥0得 或者

所以

综上所述：实数t的取值范围为

（3）解：函数

令

则 在x∈（m，+∞）不存在最值等价于函数y=t2﹣2mt+2，

在 上不存在最值，

由函数y=t2﹣2mt+2，的对称轴为t0=m得： 成立，

令

由

所以 在m∈R上是单调增函数．

又因为g（0）=0，

所以实数m的取值范围为m＞0

【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以 ，解可得a的值；（2）由函数为奇函数可得f（x2+x）＜f（tx﹣2），对f（x）求导分析可得f（x）为增函数，进而分析可以将不等式f（x2+x）+f（2﹣tx）＜0转化为存在x∈（0，+∞），x2+x＜tx﹣2成立，由基本不等式的性质分析可得答案．（3）根据题意，计算可得y=e2x+ ﹣2mf（x）的解析式，用换元法分析可得y=t2﹣2mt+2，在 上不存在最值，由二次函数的性质分析可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．