Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=3a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设b_n=log_1.5a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵S_n=3a_n-2，∴当n≥2时，S_n-1=3a_n-1-2，
a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2-（3a_n-1-2），化为an=

3

2

an-1，
当n=1时，a₁=S₁=3a₁-2，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等比数列，
∴an=(

3

2

)n-1．
（II）b_n=log_1.5a_n=log1.51．5n-1=n-1．
∴a_n•b_n=(n-1)•(

3

2

)n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=0+

3

2

+2×(

3

2

)2+3×(

3

2

)3+…+(n-1)•(

3

2

)n-1，

3

2

Tn=0+(

3

2

)2+2×(

3

2

)3+…+(n-2)•(

3

2

)n-1+(n-1)•(

3

2

)n，
∴-

1

2

Tn=

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1-(n-1)•(

3

2

)n=

( 3 2 )n-1

3 2 -1

-1-(n-1)•(

3

2

)n=(3-n)•(

3

2

)n-3，
∴T_n=(2n-6)•(

3

2

)n+6．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．