Question

在平面区域{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}上恒有ax+2by≤2，则动点P（a，b）所形成平面区域的面积为

 

．

Answer 1

考点：二元一次不等式（组）与平面区域

专题：不等式的解法及应用

分析：先依据不等式组{（x，y）||x|≤2，|y|≤2}，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax-2by≤2”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．

解答： 解：令z=ax+2by，
∵ax+2by≤2恒成立，
即函数z=ax+2by在可行域要求的条件下，z_max=2恒成立．
当直线ax+2by-z=0过点（2，2）或点（2，-2）或（-2，2）或（-2，-2）时，

有

a+2b≤1 a-2b≤1 -a+2b≤1 -a-2b≤1

．
点P（a，b）形成的图形如图，

∴所求的面积S=

1

2

×2×1=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查简单的转化思想方法和数形结合的思想方法，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．