Question

用余弦定理证明，平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：先画出平行四边形ABCD，设AB=a、AD=b，∠DAB=θ，利用余弦定理求出BD²和AC²，再由平行四边形的性质和诱导公式进行化简后，再化简AC²+BD²即可．

解答： 解：如图：平行四边形ABCD，设AB=a、AD=b，∠DAB=θ，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以CD=AB=a，BC=AD=b，∠ADC=180°-θ，
在△ABD中，由余弦定理得，
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB
=a²+b²-2abcosθ，
在△ABD中，由余弦定理得，
AC²=DC²+AD²-2DC•ADcos∠CDA
=a²+b²-2abcos（180°-θ）=a²+b²+2abcosθ，
所以AC²+BD²=（a²+b²-2abcosθ）+（a²+b²+2abcosθ）
=2（a²+b²）=2（AB²+AD²），
即AC²+BD²=AB²+AD²+DC²+AD²，
故平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和．

点评：本题考查余弦定理，诱导公式，以及平行四边形的性质，属于中档题．