Question

已知点E是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点，点F是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是

 

，渐近线的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|，得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值和渐近线方程．

解答： 解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F为右焦点，设其坐标为（c，0），
令x=c，则

c2

a2

-

y2

b2

=1，
则有y=±

b2

a

，
∴|AF|=

b2

a

，∴|EF|=a+c，
∴

b2

a

=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，∴e=2，
由c=2a，则b=

c2-a2

=

3

a，
则双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，即有y=±

3

x．
故答案为：2，y=±

3

x．

点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．