Question

点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=

2

，AC=2，若球的表面积为

25π

4

，则四面体ABCD体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答： 解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，
因为球的表面积为

25π

4

，
所以4πr²=

25π

4

所以r=

5

4

，
四面体ABCD的体积的最大值，底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+

r2-12

=2．
四面体ABCD体积的最大值为

1

3

×S_△ABC×h=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

，
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．