Question

已知各项都为整数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=35，且a₂，a₃+1，a₆成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

3n

的前n项和为T_n，求证T_n＜

5

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T_n，即可证明．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂，a₃+1，a₆成等比数列，∴(a3+1)2=a2•a6，
∵S₅=35，∴

5(a1+a5)

2

=5a₃=35，解得a₃=7．
∴

a1+2d=7 a2•a6=(a1+d)(a1+5d)=(7+1)2

，又d为整数，
解得

a1=1 d=3

，
∴a₁=1+3（n-1）=3n-2．
（2）证明：b_n=

an

3n

=

3n-2

3n

，
∴T_n=

1

3

+

4

32

+

7

33

+…+

3n-5

3n-1

+

3n-2

3n

，
3T_n=1+

4

3

+

7

32

+…+

3n-2

3n-1

，
∴2T_n=1+

3

3

+

3

32

+…+

3

3n-1

-

3n-2

3n

=3×

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-2-

3n-2

3n

=

5

2

-

6n+5

2•3n

，
∴T_n=

5

4

-

6n+5

4×3n

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．