Question

已知A，B两点分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，∠MCN=

2

3

π，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c=

3

，∠ABC=θ，
（1）试用θ表示△ABC的边AC、BC的长；
（2）试用θ表示△ABC的周长f（θ），并求周长的最大值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）△ABC中由正弦定理知

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

，即可用θ表示△ABC的边AC、BC的长；
（2）f（θ）=2sin（θ+

π

3

）+

3

，根据θ∈（0，

π

3

），即可求周长的最大值．

解答： 解：（1）∵△ABC中由正弦定理知

AC

sinθ

=

BC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

∴AC=2sinθ，BC=2sin（

π

3

-θ）                 …（6分）
（2）f（θ）=2sinθ+2sin（

π

3

-θ）+

3

=sinθ+

3

cosθ+

3

，
即f（θ）=2sin（θ+

π

3

）+

3

 …（9分）
∵θ∈（0，

π

3

），
∴当θ=

π

6

时，f（θ）取得最大值2+

3

 …（12分）

点评：本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．