Question

【题目】一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为．

（1）求；

（2）设，求；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）根据的取值以及概率，即可容易求得数学期望；

（2）求得当时，以及时的概率，则问题得解；

（3）对第次白球个数的数学期望分为第次取出来的是白球，或者黑球进行讨论，即可证明.

（1）∵或，

∴，，

∴．

（2）∵当时，，

当时，第次取出来有个白球的可能性有两种：

第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，

即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为；

第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为12个，

故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为；

∴，

∴综上可知，

（3）∵第次白球个数的数学期望分为两类情况：

第次白球个数的数学期望为，由于白球和黑球的总数为12，

第次取出来的是白球的概率为，

第次取出来的是黑球的概率为，此时白球的个数为，

∴

即．