【题目】已知椭圆:
的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆
于
两点,在直线
上存在点
,使得
为等边三角形,求
的值.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
试题(1)求椭圆标准方程,要确定的值,题中已知四个顶点形成的菱形是确定的,而椭圆的顶点为
,因此易得
;(2)本小题采取解析几何的基本解法,
是等边三角形的条件是三边相等,或两内角为60°,或
且
,我们采用
且
,由线段
的中垂线与直线
相交求得点
的坐标,计算
,直线
与椭圆相交求得
点坐标,计算
,利用
求得
值,由于涉及到
的垂线.因此对
按
和
分类讨论.
试题解析:(1)因为椭圆:
的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为的菱形的四个顶点, 所以
,
椭圆的方程为
(2)设,则
(i)当直线的斜率为0时,
的垂直平分线就是
轴,
轴与直线
的交点为
,
又,
所以是等边三角形,所以
满足条件;
(ii)当直线的斜率存在且不为0时,设
的方程为
所以,化简得
解得
所以
又的中垂线为
,它
的交点记为
由解得
则
因为为等边三角形, 所以应有
代入得到,解得
(舍),
综上可知,或
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【题目】如图,平面四边形ABCD中,E,F是AD,BD中点,,
,将
沿对角线BD折起至
,使平面
平面BCD,则四面体
中,下列结论不正确的是( )
A.平面
B.异面直线CD与所成的角为
C.异面直线EF与所成的角为
D.直线与平面BCD所成的角为
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的极坐标方程为
.倾斜角为
,且经过定点
的直线
与曲线
交于
两点.
(Ⅰ)写出直线的参数方程的标准形式,并求曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)求的值.
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【题目】已知函数(
为自然对数的底数),
为
的导函数,且
.
(1)求实数的值;
(2)若函数在
处的切线经过点
,求函数
的极值;
(3)若关于的不等式
对于任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求实数x的取值范围;
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,有g(x)=f(x),当x∈[1,2]时,求函数y=g(x)的解析式.
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【题目】等差数列的前
项和为
,数列
满足:
,
,当
时,
,且
,
,
成等比数列,
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)求证:数列中的项都在数列
中;
(3)将数列、
的项按照:当
为奇数时,
放在前面:当
为偶数时,
放在前面进行“交叉排列”,得到一个新的数列:
,
,
,
,
,
,…这个新数列的前
和为
,试求
的表达式.
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【题目】为促进全面健身运动,某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计,随机抽取的100名跑友,分别统计他们一周跑步的千米数,并绘制了如图频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数;
(2)已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在
的
,跑步千米数在
的人数是跑步千米数在
的
,现在从跑步千米数在
的跑友中抽取3名代表发言,用
表示所选的3人中跑步千米数在
的人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球,从中任取一球.如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中的白球个数为
.
(1)求;
(2)设,求
;
(3)证明:.
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【题目】如图,AB、PA、PBC分别为⊙O的切线和割线,切点A是BD的中点,AC、BD相交于点E,AB、PE相交于点F,直线CF交⊙O于另一点G、交PA于点K.
证明:(1)K是PA的中点;(2)..
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