【题目】等差数列的前
项和为
,数列
满足:
,
,当
时,
,且
,
,
成等比数列,
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)求证:数列中的项都在数列
中;
(3)将数列、
的项按照:当
为奇数时,
放在前面:当
为偶数时,
放在前面进行“交叉排列”,得到一个新的数列:
,
,
,
,
,
,…这个新数列的前
和为
,试求
的表达式.
【答案】(1),
;(2)证明见解析;(3)当
时,
;当
时,
;当
时,
.
【解析】
(1)根据等差数列通项公式,即可由基本量计算求得首项与公差,进而求得数列的通项公式与前n项和;根据等比中项定义,结合数列
的前n项和,代入化简可求得数列
的通项公式;
(2)根据数列,
的通项公式,即可证明数列
中的项都在数列
中;
(3)由数列的通项公式,代入由裂项求和法可得
的前n项和,再对
分类讨论,即可确定新数列的前
和
的表达式.
(1)为等差数列,设公差为
,
,
,
所以,解得
,
所以由等差数列通项公式可得;
等差数列的前
项和为
,
所以,
当时,
,且
,
,
成等比数列,
.
所以,
则,即
,
化简可得,当
时也成立,
所以.
(2)证明:由(1)可知,
,
则,
所以数列中的项都在数列
中;
(3)由(1)可知,
则,
所以数列的前n项和为
,
当
时,
,
当
(
)时,
,经检验当
时也成立,
当
时,
,
综上所述,当时,
;
当时,
;
当时,
.
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【题目】以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大;其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | 合计 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 30 | 60 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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【题目】若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1)若具有性质
,且
,
,求
;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列
是公比为正数的等比数列,
,
,
判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知
.求证:“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆
于
两点,在直线
上存在点
,使得
为等边三角形,求
的值.
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【题目】唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取,某研究人员将唐诗分成7大类别,并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇,统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数,得到下表:
爱情婚姻 | 咏史怀古 | 边塞战争 | 山水田园 | 交游送别 | 羁旅思乡 | 其他 | 总计 | |
篇数 | 100 | 64 | 55 | 99 | 91 | 73 | 18 | 500 |
含“山”字的篇数 | 51 | 48 | 21 | 69 | 48 | 30 | 4 | 271 |
含“帘”字的篇数 | 21 | 2 | 0 | 0 | 7 | 3 | 5 | 38 |
含“花”字的篇数 | 60 | 6 | 14 | 17 | 32 | 28 | 3 | 160 |
(1)根据上表判断,若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇,则它属于哪个类别的可能性最大,属于哪个类别的可能性最小,并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率;
(2)已知检索关键字的选取规则为:
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系,则“某字”为“某类别”的关键字;
②若“某字”被选为“某类别”关键字,则由其对应列联表得到的的观测值越大,排名就越靠前;
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为
,
,
.已知
,
,请完成下面列联表,并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
属于“爱情婚姻”类 | 不属于“爱情婚姻”类 | 总计 | |
含“花”字的篇数 | |||
不含“花”的篇数 | |||
总计 |
附:,其中
.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款,某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”,对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号,低于10000步称为“参与者”,为了解老师们运动情况,选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析,统计结果如下:
运动达人 | 参与者 | 合计 | |
男教师 | 60 | 20 | 80 |
女教师 | 40 | 20 | 60 |
合计 | 100 | 40 | 140 |
(Ⅰ)根据上表说明,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关?
(Ⅱ)从具有“运动达人”称号的教师中,采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动,若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式,设抽取的3人中女教师人数为,写出
的分布列并求出数学期望
.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于
、
两点,试问,是否存在
轴上的点
,使得对任意的
,
为定值,若存在,求出
点的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,准线
与
轴交于点
,点
在抛物线上,直线
与抛物线
交于另一点
.
(1)设直线,
的斜率分别为
,
,求证:
常数;
(2)①设的内切圆圆心为
的半径为
,试用
表示点
的横坐标
;
②当的内切圆的面积为
时,求直线
的方程.
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