Question

实数a，b两数中最小值用min{a，b}表示，若函数f（x）=min{x²，（x-m）²}（m为常数）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）在[0，4]上的值域是

 

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Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据已知条件及函数的对称性，求出m，进而得出函数的解析式及已知x的范围求得y的范围．

解答： 解：当x=0时，min{x²，（x-m）²}=min{0，m²}=0
∴f（0）=0
∵f（x）=min{x²，（x-m）²}（m为常数）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2）=f（0）=0
∴min{2²，（2-m）²}=0
根据min{a，b}表的定义，只能有2-m=0
∴m=2
∴f（x）=min{x²，（x-2）²}
①当x∈[0，1]时，|x|＜|x-2|，即x²＜（x-2）²，
则f（x）=min{x²，（x-2）²}=x²，
∵函数f（x）=x²在区间[0，1]上单调增，
∴f（x）∈[0，1]
②当x∈[1，4]时，|x|＜|x-2|，即x²＞（x-2）²，
则f（x）=min{x²，（x-2）²}=（x-2）²，
函数f（x）=（x-2）²在区间[1，4]时，当x=2时有最小值0，当x=4时，f（x）有最大值4，
∴f（x）∈[0，4]
综合①②可知函数f（x）在[0，4]时，f（x）∈[0，4]
故答案为：[0，4]

点评：本题主要考查了函数的值域问题及分段函数．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点．用好分类讨论和数形结合的思想，可起到事半功倍的效果．