Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为为AD上的一点，且AB⊥AD，CO⊥AD，AB=AO=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{2}$OC=1，OP=$\frac{1}{2}$CD，PA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可得AB⊥AD，求解三角形证明PA⊥AD，再由线面垂直的判定可得PD⊥平面PAB；
（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面PAB与PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：如图，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，则AB⊥PD．
∵CO⊥AD，OC=2，OD=$\frac{2}{3}AD=2$，∴CD=$2\sqrt{2}$，
则OP=$\frac{1}{2}CD=\sqrt{2}$，
在△AOP中，AO²+OP²=1+2=3=PA²，
∴PO⊥AD，
在Rt△POD中，2PD²=OP²+OD²=2+4=6，
∵PA²+PD²=3+6=9=AD²，
∴PA⊥AD，
又PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；
（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{2}$），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（2，0，0），
∴$\overrightarrow{PA}=（0，-1，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，0，-\sqrt{2}）$．
分别设平面PAB与PBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=-{y}_{1}-\sqrt{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}={x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}=（0，-\sqrt{2}，1）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}={x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2{x}_{2}-\sqrt{2}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{2}=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，\sqrt{2}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}×2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．