Question

10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2^x+$\frac{m}{2^x}$，设g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），}&{x＞1}\\{f（-x），}&{x≤1}\end{array}}$，若函数y=g（x）-t有两个不同的零点，则实数t的取值范围是$（\frac{3}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0求出m的值，利用g（x）与f（x）的关系求出g（x）的表达式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，数形结合得答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=2^x+$\frac{m}{2^x}$，
∴f（0）=0，即f（0）=1+m=0，得m=-1，
则f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，x＞1}\\{\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$，
则当x＞1时，函数为增函数，g（x）＞$\frac{3}{2}$；
当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）=-$\frac{3}{2}$．
由y=g（x）-t=0，得g（x）=t，
作出函数g（x）和y=t的图象如图：
要使函数y=g（x）-t有两个不同的零点，
则函数g（x）与y=t只有两个不同的交点，
则t＞$\frac{3}{2}$．
故答案为（$\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．