Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝有三个实根x₁，x₂，x₃．

(1)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；

(2)若a，b，c均大于零，试证明：x₁，x₂，x₃都大于零；

(3)若，f(x)在处取得极值且，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得，比较两边系数，得． 　　(2)由c＞0，得x1，x2，x3三数中或全为正数或一正二负． 　　若为一正二负，不妨设由，得，则． 　　又＝，这与b＞0矛盾，所以x1，x2，x3全为正数． 　　(3)令，要f(x)＝0有三个不等的实数根，则函数f(x)有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． 　　由已知，得有两个不等的实根， 　　，，由(1)(3)，得b＞－3． 　　又，∴b＝－1，将b＝－1代入(1)(3)，得a＝0． 　　，则，且f(x)在处取得极大值，在处取得极小值， 　　故f(x)＝0要有三个不等的实数根，则必须得．

提示：

分析：(1)联想二次方程根与系数关系，写出三次方程的根与系数．(2)利用(1)的结论进行证明；(3)三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究． 　　说明：本题考查学生类比探究函数与方程与图形的转化的能力．