Question

（2011•东城区模拟）如果三位正整数如“abc”满足a＜b，b＞c，则这样的三位数称为凸数（如120，352）那么，所有的三位凸数的个数为（　　）

A．240

B．204

C．729

D．920

Answer 1

分析：根据题意，先分析中间的数，再研究首位与个位数，即按中间数进行分类讨论，求得当中间数为n时，首位有（n-1）种情况，个位有n种情况，故总的种数共有n（n-1）种，进而相加可得答案．

解答：解：根据题意，对十位数即中间数分情况讨论：
当中间数是2时，首位可取1，个位可取0，1，故总的种数有2×1=2个，
当中间数为3时，首位可取1，2，个位可取0，1，2，故总的种数共有2×3=6个，
…
当中间数为9时，首位可取1，2，…，8个位可取0，1，2，…，8故总的种数共有8×9=72，
归纳可得，当中间数为n时，首位有（n-1）种情况，个位有n种情况，故总的种数共有n（n-1）种，
故所有凸数个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9=2+6+12+20+30+42+56+72=240
故选A．

点评：本题考查分类计数原理的应用，关键是正确理解题中所给的凸数的定义，进而按中间的数进行分类，归纳出中间数与可得凸数的个数的关系．