Question

5．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₂，a₃-3b₂=2．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求S_n和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式，建立方程组关系求出公比和公差即可得到结论．
（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，{b_n}的公差为d，由题意q＞0，
由已知，有$\left\{{\begin{array}{l}{（1+d）+（1+2d）=2q}\\{{q^2}-3（1+d）=2}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-2q+3d=-2}\\{{q^2}-3d=5}\end{array}}\right.$，
消去d得：q²-2q-3=0，解得q=3或q=-1（舍去）
∴$d=\frac{4}{3}$，q=3，
所以{a_n}的通项公式为${a_n}={3^{n-1}}$，n∈N^*，
{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}$，n∈N^*．
（2）由（1）知a_n}的通项公式为${a_n}={3^{n-1}}$，n∈N^*，则数列为等比数列，则S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}$，n∈N^*．则数列为等差数列，则T_n=$\frac{（1+\frac{4}{3}n-\frac{1}{3}）×n}{2}$=$\frac{2}{3}$n²+$\frac{1}{3}$n，
即${S_n}=\frac{1}{2}（{3^n}-1）$，${T_n}=\frac{2}{3}{n^2}+\frac{1}{3}n$．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及前n项和公式的计算，利用方程组法求出等差和等比是解决本题的关键．比较基础．