Question

17．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是16π-16$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a²+h²=16≥2$\sqrt{2}$ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出球的表面积与该四棱柱的侧面积之差．

解答 解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a²+h²=16≥2$\sqrt{2}$ah，
∴ah≤4$\sqrt{2}$，当且仅当h=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$时取等号，
∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤16$\sqrt{2}$，
∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=2$\sqrt{2}$，a=2，
∴球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是4π•2²-16$\sqrt{2}$=16π-16$\sqrt{2}$．
故答案为：16π-16$\sqrt{2}$．

点评 本题考查球的表面积与该四棱柱的侧面积之差，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．