Question

8．设函数f（x）=ax²+b（lnx-x），g（x）=-$\frac{1}{2}x$²+（1-b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-f（x₂）-1＞g（x₁）-g（x₂）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=2a=-1，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），x∈[1，b]，求出F（x）的导数，得到F（x）_max-F（x）_min=F（b）-F（1）=blnb-b+1，问题转化为即blnb-b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb-b，b∈[1，+∞），通过讨论函数t（b）的单调性，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2ax+b（{\frac{1}{x}-1}）$，
所以k=f'（1）=2a=-1，所以$a=-\frac{1}{2}$…（2分）
（Ⅱ）$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+b（{lnx-x}）$，其定义域为（0，+∞），
$f'（x）=-x+b（{\frac{1}{x}-1}）=\frac{{-{x^2}-bx+b}}{x}$，
令h（x）=-x²-bx+b，x∈（0，+∞）△=b²+4b
（ i）当-4≤b≤0时，△=b²+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
故f（x）在区间（0，+∞）无极值点；
（ ii）当b＜-4时，△＞0，
令h（x）=0，有${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，${x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，x₂＞x₁＞0，
当x∈（0，x₁）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（0，x₁）上递减；
当x∈（x₁，x₂）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x₁，x₂）上递增；
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上递减．
此时f（x）有一个极小值点$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$和一个极大值点$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$．
（ iii）当b＞0时，△＞0，
令h（x）=0，有${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}＜0$，${x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}＞0$，
当x∈（0，x₂）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x₂）上递增；
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x₂，+∞）上递减．
此时f（x）唯一的极大值点$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，无极小值点．
综上可知，当b＜-4时，函数f（x）有一个极小值点$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$和一个极大值点$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$．
当-4≤b≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有无极值点；
当b＞0时，函数f（x）有唯一的极大值点$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+4b}}}{2}$，无极小值点；…（8分）
（ III）令F（x）=f（x）-g（x），x∈[1，b]，
则F（x）=$-\frac{1}{2}{x^2}+b（{lnx-x}）-[{-\frac{1}{2}{x^2}+（{1-b}）x}]$=blnx-x
若总存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-f（x₂）-1＞g（x₁）-g（x₂）+m成立，
即总存在x₁，x₂∈[1，b]，使得f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）+m+1成立，
即总存在x₁，x₂∈[1，b]，使得F（x₁）-F（x₂）＞m+1成立，
即F（x）_max-F（x）_min＞m+1$F'（x）=\frac{b}{x}-1=\frac{b-x}{x}$，
因为x∈[1，b]，所以F'（x）≥0，即F（x）在[1，b]上单调递增，
所以F（x）_max-F（x）_min=F（b）-F（1）=blnb-b+1，
即blnb-b+1＞m+1对任意b∈（1，+∞）成立，
即blnb-b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．
构造函数：t（b）=blnb-b，b∈[1，+∞），t'（b）=lnb，
当b∈[1，+∞）时，t'（b）≥0，∴t（b）在[1，+∞）上单调递增，
∴t（b）_min=t（1）=-1．∴对于任意b∈（1，+∞），∴t（b）＞t（1）=-1．
所以m≤-1…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．