Question

7．已知函数f（x）=|x+3|-m，m＞0，f（x-3）≥0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，使得$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将不等式转化为|x|≥m，根据其解集情况，确定m；
（2）将不等式转化为不等式$|{x+3}|-|{2x-1}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可．

解答 解：（1）因为∵f（x）=|x+3|-m，
所以f（x-3）=|x|-m≥0，
∵m＞0，∴x≥m或x≤-m，
又∵f（x-3）≥0的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故m=2．•…（5分）
（2）$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$等价于不等式$|{x+3}|-|{2x-1}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，
设$g（x）=|{x+3}|-|{2x-1}|=\left\{\begin{array}{l}x-4，x≤-3\\ 3x+2，-3＜x＜\frac{1}{2}\\-x+4，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，•…（8分）
故$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{7}{2}$，
?x∈R，使得$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$成立，
则有$\frac{7}{2}≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，即2t²-3t+1≥0，解得$t≤\frac{1}{2}$或t≥1
即实数的取值范围$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$•…（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．